由于齿轮（Gear）减速机的齿轮空载重合度一般在1.6～1.8，因此实际的面齿轮副的综合"啮合（niè hé） "刚度是一个以啮合周期为周期的阶跃函数。行星齿轮减速机又称为行星减速机，伺服减速机。在减速机家族中，行星减速机以其体积小，传动效率高，减速范围广，精度高等诸多优点，而被广泛应用于伺服电机、步进电机、直流电机等传动系统中。其作用就是在保证精密传动的前提下，主要被用来降低转速增大扭矩和降低负载/电机的转动惯量比。另外，齿轮减速机齿轮的重合度在加载后会进一步增大，其啮合刚度的变化比较小，因此可以将其处理为在一个平均值下的微小波动，具体表达式如下。 

       由于的齿轮空载重合度一般在1.6～1.8，因此实际的面齿轮副的综合啮合刚度是一个以啮合周期为周期的阶跃函数。另外，齿轮减速机(Retarder)齿轮的重合度在加载后会进一步增大，其啮合刚度的变化比较小，因此可以将其处理(chǔ lǐ)为在一个平均值（The average value)下的微小波动，具体表达式如下：khkm+Akcos。式中，km为啮合刚度的平均值，Ak为啮合刚度的波动幅值，ωh为齿轮副的啮合频率(frequency)，k为初相位。
　　由于对齿轮（Gear）减速机齿轮振动影响(influence)较大的偏差比较多，如基节偏差、齿距偏差、齿形误差、齿距累积误差等，在此将其统称为齿轮副综合误差。具体的处理方法参考文献［9］，将其表示为啮合频率(frequency)的简谐函数：ene0+Aesin。式中，e0为综合误差常值，Ae为综合误差的幅值，e为初相位。
　　则所示的面齿轮减速机传动系统(system)的振动方程为mpYp+cypYp+kypYpFy，mpZp+czpZp+kzpZpFz，JpθpTp－Fnrp，mgYg+cygYg+kygYg－Fy，mgZg+czgZg+kzgZg－Fz，Jgθg－Tg+Fzrg。为了消除系统的刚体位移，引入齿面"啮合（niè hé） "点间的法向相对位移λn作为新的自由度，并对方程组进行量纲一化处理(chǔ lǐ)后，得yp+2ξypy
　　系统的分岔特性分析对间隙型非线性方程组，用PNF方法对其进行求解，得到的系统响应也以量纲一化的形式给出。系统主要参数为：齿数zp36，zg123；模数m4mm；齿宽B30mm；压力角αn20°；传动误差均值e00μm，幅值Ae15μm，初始相位角e0；驱动转矩Tp300Nm；负载（load）转矩Tg1025Nm；齿侧间隙bm100μm；"啮合（niè hé） "刚度km3.2×108Nm－1；小直齿轮（Gear）支承刚度kypkzp2.8×108Nm－1，面齿轮支承刚度kygkzg5.2×108Nm－1。
　　系统的倍周期分岔为时变"啮合（niè hé） "刚度幅值系数ak从0.4增大到0.5的过程中系统的倍周期分岔特性。硬齿面齿轮减速机利用各级齿轮传动来达到降速的目的.减速器就是由各级齿轮副组成的.比如用小齿轮带动大齿轮就能达到一定的减速的目的,再采用多级这样的结构,就可以大大降低转速了。由系统的庞加莱截面可见，在ak0.420处系统响应依然为5周期次谐响应）；当增大到0.460时，系统分岔为10周期次谐响应）；然后在ak0.485处进一步分岔为26周期次谐响应）；其后的分岔域越来越短，最后进入混沌响应）。
　　1.61.20.80.400.400.420.440.460.480.50时变刚度幅值系数量纲一位移姿系统(system)倍周期分岔系统的拟周期分岔当"啮合（niè hé） "阻尼比ξg由0.061减小到0.060时，可以观察到系统响应由拟周期道路到达混沌的过程(guò chéng)，如所示。
　　00.40.81.21.600.40.81.21.6%0.60.30-0.3-0.6量纲一位移姿量纲一位移姿量纲一速度d姿量纲一速度d姿%0.60.30-0.3-0.6ak0.420ak0.460%210-1-2%0.40.20-0.2-0.4-0.600.61.21.8%-1.001.02.0量纲一位移姿量纲一位移姿量纲一速度d姿量纲一速度d姿ak0.485ak0.500不同时变啮合刚度幅值系数ak对应的系统(system)庞加莱截面1.201.151.101.051.000.950.900.85%%610608606604602600啮合阻尼比孜g/10-4量纲一位移姿系统拟周期分岔由各参数(parameter)点处系统响应的庞加莱截面可见，在ξg0.0605100附近系统响应为拟周期响应，如所示；当ξg减小到0.0604169时，系统的拟周期环面破碎为数个小的吸引子区域，如所示；当ξg继续减小到0.0603900时，系统响应为17周期次谐响应，如所示；随着ξg进一步减小到0.0603750附近时，系统再次进入拟周期响应，如所示。经过一系列的拟周期分岔后，系统最终进入混沌响应，此时系统响应相和庞加莱截面如、所示。
　　由以上分析可以看出，啮合阻尼比从0.061减小到0.060的过程(guò chéng)中，系统(system)响应经历了周期D拟周期D拟周期环破碎D周期D拟周期…的拟周期分岔道路。系统的边界激变在一定的参数(parameter)条件下，还可以观察到系统通过(tōng guò)边界激变到达混沌响应的现象。
　　结论1）建立了包含支承、齿侧间隙、时变啮合刚度、综合传动误差、阻尼和外激励(Excitation)等参数(parameter)的面齿轮传动系统(system)的非线性动力技术模型。齿轮减速电机1、R系列同轴式斜齿轮减速机结合国际技术要求制造，具有很高的科技含量2、节省空间，可靠耐用，承受过载能力高，功率可达132KW; 3、能耗低，性能优越，减速机效率高达95%以上；4、振动小，噪音低，节能高；5、选用优质锻钢材料，钢性铸铁箱体，齿轮表面经过高频热处理；6、经过精密加工，确保轴平行度和定位轴承要求，形成斜齿轮传动总成的减速机配置了各种类电机，组合成机电一体化，完全保证了产品使用质量特性。2）系统通向混沌的途径主要有周期倍化道路、拟周期道路以及边界激变。3）不同的系统参数，甚至同一参数的不同区段，系统会以不同的道路进入混沌区域。